Hej! Jako dostawca komutatorów dużo myślałem o tym, jak te małe komponenty mogą być stosowane w różnych obszarach studiów. Jednym z naprawdę interesujących pytań, które pojawia się: czy komutator można wykorzystać do zbadania rozwiązania grupy?
Zacznijmy od zrozumienia, czym jest komutator. W świecie teorii grupy, jeśli masz grupę (g) i dwa elementy (a) i (b) w tej grupie, komutator (a) i (b), napisany jako ([a, b]), jest zdefiniowany jako (a^{-1} b^{-1} ab). Może się to wydawać prostą małą formułą, ale oferuje cios pod względem tego, co może nam powiedzieć o grupie.
Co to znaczy, że grupa jest rozwiązana? Grupa (g) można rozwiązać, jeśli istnieje sekwencja podgrup (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e}), gdzie (e) jest elementem tożsamości grupy, a każda (g_ {i + 1}) jest normalną podgrupą (g_i) i grupy litfitrowej (g_i/g_ {i + 1}) jest Abelian. Mówiąc prosto, możemy podzielić grupę na mniejsze, bardziej dobrze - zachowywane (Abelian).
Jak więc komutatorzy pasują do tego zdjęcia? Cóż, podgrupa komutatorów, często oznaczona jako (g ') lub ([g, g]), jest podgrupą generowaną przez wszystkich komutatorów w grupie (g). To znaczy (g '= \ langle [a, b]: a, b \ in g \ rangle).
Podgrupa komutatorów jest bardzo ważna, jeśli chodzi o badanie rozwiązania. Jedną z kluczowych właściwości jest to, że grupa (g) jest Abelian, jeśli i tylko wtedy, gdy jej podgrupa komutatorów (g '= {e}). Wynika to z faktu, że jeśli (g) jest Abelian, to dla dowolnego (a, b \ in g), (ab = ba). Więc ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab = a^{-1} ab^{-1} b = e). I odwrotnie, if (g '= {e}), to dla wszystkich (a, b \ in g), ([a, b] = e), co oznacza (a^{-1} b^{-1} ab = e). Pomnóż obie strony po lewej przez (AB), a dostajesz (ab = ba), więc (g) jest Abelian.
Pomyślmy teraz o związku między podgrupą komutatora a rozwiązaniem. Możemy stworzyć sekwencję podgrup komutatorów. Zacznij od (g_0 = g), następnie (g_1 = [g_0, g_0] = g '), (g_2 = [g_1, g_1]) i ogólnie, (g_ {i+1} = [g_i, g_i]). Ta sekwencja nazywa się pochodną serią grupy (G).
Grupa (g) jest możliwa do rozwiązania, jeśli i tylko wtedy, gdy seria pochodna ostatecznie dotrze do trywialnej grupy ({e}). Oznacza to, że istnieje liczba całkowita nie ujemna (n) taka, że (g_n = {e}). Aby zobaczyć, dlaczego tak jest, po pierwsze, załóż, że (g) można rozwiązać z serią rozpuszczalną (g = h_0 \ geq h_1 \ geq \ cdots \ geq h_n = {e}) gdzie (h_ {i}/h_ {i + 1}) jest Abelian. Możemy pokazać według indukcji, że (g_i \ leq h_i) dla wszystkich (i). Dla (i = 0), (g_0 = g = h_0). Załóż, że (g_i \ leq h_i). Ponieważ (h_ {i}/h_ {i + 1}) to Abelian, ([h_i, h_i] \ leq h_ {i + 1}). A ponieważ (g_ {i+1} = [g_i, g_i]) i (g_i \ leq h_i), mamy (g_ {i+1} \ leq [h_i, h_i] \ leq h_ {i+1}). Ostatecznie, kiedy (h_n = {e}, g_n = {e}).
I odwrotnie, jeśli seria pochodna (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e}), to każda (g_i/g_ {i+1}) jest ABELIAN, ponieważ (g_ {i+1} = [g_i, g_i]) i commutator (g_i/g_ {i+1}) jest TIRICILA. (Możesz to udowodnić za pomocą właściwości grup ilorazowych i komutatorów). Tak więc sama pochodna seria jest serią rozpuszczalną dla (G).
W praktyce, kiedy patrzymy na grupę, możemy obliczyć podgrupy komutatorów krok - po. Zaczynamy od znalezienia wszystkich komutatorów w grupie w celu utworzenia pierwszej podgrupy komutatorów (G '). Następnie robimy to samo, aby (g ') zdobyć (g' ') i tak dalej. Jeśli w pewnym momencie skończymy tylko elementem tożsamości, wiemy, że grupa jest rozwiązana.
Jako dostawca komutatorów uważam ten związek między komutatorami a rozwiązaniem grupy fascynującą. Pokazuje, że te małe komponenty, które są głównie przemyślane w kontekście inżynierii elektrycznej i systemów mechanicznych, w których je dostarczam, mają to głębokie zastosowanie matematyczne.
Jeśli lubisz abstrakcyjną algebrę i prowadzisz badania nad teorią grup, koncepcja komutatorów i ich zastosowanie w badaniu rozwiązania może otworzyć zupełnie nowy obszar eksploracji. Możesz użyć narzędzi obliczeniowych do obliczania podgrup komutatorów dla dużych i złożonych grup. Istnieje również wiele wyników teoretycznych, które mogą pomóc w przeanalizowaniu struktury grup opartych na podgrupach komutatorów.
Naprawdę fajne jest to, że badanie rozwiązania grupy ma również prawdziwe - światowe zastosowania. Na przykład w teorii GALOIS rozwiązanie grupy Galois równania wielomianowego jest związane z tym, czy równanie można rozwiązać za pomocą rodników. Tak więc, wykorzystując komutatorów do badania rozwiązania grupy GALOIS, możemy uzyskać wgląd w równania wielomianowe.
Teraz, jeśli jesteś na rynku wysokiej jakości komutatorów dla twoich projektów elektrycznych lub mechanicznych, doszedłeś do właściwego miejsca. Oferujemy szeroką gamę komutatorów wKomutatorzy. Niezależnie od tego, czy potrzebujesz małych komutatorów w zakresie precyzyjnych instrumentów, czy o dużych skali dla zastosowań przemysłowych, mamy Cię objęte.
Jeśli chcesz omówić swoje konkretne wymagania lub chcesz uzyskać wycenę, nie wahaj się skontaktować. Zawsze cieszymy się, że rozmawiamy i zobaczymy, jak możemy pomóc Ci w potrzebach komutatora. Niezależnie od tego, czy jesteś inżynierem, badaczem, czy kimś po prostu szukającym wiarygodnych komponentów, jesteśmy tutaj, aby Cię wspierać.
Odniesienia
- Dummit, DS i Foote, RM (2004). Streszczenie Algebra. Wiley.
- Long, S. (2002). Algebra. Skoczek.